MATEMÁTICAS DE PALITOS Y GUIJARROS

Algunos profesores, producidos por el sistema educativo convencional, insisten en hacer que sus alumnos aprendan las tablas de multiplicar; sin tan siquiera percatarse que deben enseñar primero a multiplicar. En su insistencia, es decir, en el talante reproductivo que asume su rol en el enseñanza escolar, llegan a identificar el aprendizaje de las tablas con la multiplicación misma. Mi contra-insistencia es: enseñemos a sumar y olvidemos las tablas de multiplicar, que a la final vendrán por sí mismas, una vez que hayan aprendido a sumar.

En alguna oportunidad una colega, profesora de física, me contó que en sus años de escuela había tenido problemas con las tablas de multiplicar, pero que tras darse cuenta que la multiplicación es una suma abreviada, el asunto se le hizo notoriamente más fácil. En efecto, la crítica a la educación memorística no atañe a la capacidad de la memoria sino a la incomprensión de lo memorizado. Las estrategias nemotécnicas no aportan nada en sí mismas, si los contenidos que se pretenden retener no han sido medianamente comprendidos por el alumno. De hecho, la comprensión en sí misma puede convertirse en un recurso nemotécnico. 

Los niños pueden memorizar proposiciones como “8 por 7 es 56” o “7 más 5 es 12”; pero esto no implica necesariamente su comprensión. Una de las dificultades de este aprendizaje podría radicar en la forma del lenguaje, en la polisemia de la preposición “por”, que no parece, a primera vista, decir mucho sobre la relación entre los dos términos que conforman el objeto de la proposición; como sí sucede, por ejemplo, en la expresión inglesa “8 veces 7 es 56”. El niño puede memorizar una serie de tablas, pero convendría darle el espacio para que infiera (en las metodologías constructivistas) o se le dé explícito que, v.g. “7 por 3” significa “7 veces 3”, y que puede construir la multiplicación por asociación y adición. 

Las didácticas tradicionales utilizando ábacos y guijarros suelen ser muy útiles para este propósito, permitiendo que el niño construya las relaciones entre cantidades y para una mejor comprensión de los sintagmas numéricos. 

De mi infancia recuerdo haber construido un ábaco clavando una serie de palos perpendiculares sobre una tabla; luego, espumas agujereadas y diferenciadas por grupos de colores; con ellas íbamos construyendo números y haciendo las operaciones básicas de adición, sustracción y multiplicación. La educación tradicional suele ser muy criticada, pero quisiera compartir algunas reflexiones muy simples sobre una propuesta didáctica que nada tiene de novedoso, que simplemente retoma formas muy viejas de enseñar, pero que aún hoy siguen siendo de gran utilidad para el trabajo con niños en las escuelas u otros ambientes de aprendizaje. 

Construcción de sintagmas para representar números 

Los números dígitos, en la nomenclatura indo-arábiga, son abreviaciones que convendría reconstruir en el proceso didáctico. La combinación de dos o más dígitos, como por ejemplo la expresión “10”, que suele significar la cantidad diez, supone un doble juego de multiplicación y adición que puede ser eclipsado por una didáctica que lo presente por la simple asociación entre signo (10) y “su” concepto (diez). En este último modo, se obvia la polisemia del signo, que puede significar diez u otra cantidad. 

Antes de representar los números mediante las grafías indo-arábigas, una actividad muy simple consiste en ir, como los antiguos, dibujando rayitas y adicionando; utilizando las tradicionales regletas o guijarros por colores en un ábaco. 

Se le pide a los niños que armen grupos, de un solo elemento; al introducir un guijarro de color en la primera asta, del lado derecho del ábaco, dibuja la primera rayita en su cuaderno o en el pizarrón. Primero adicionando de uno en uno, va repasando y contando hasta que llega a nueve guijarros. Es conveniente que haga diferentes adiciones y sustracciones antes de empezar a usar la segunda asta. 

Así, puede pedírsele que adicione 1 y luego 3 más, de modo que cuente 4 y dibuje en su hoja el número de rayas correspondientes; luego, que adicione 4 hasta sumar 8; otra vez, se le puede pedir que retire 5, y vuelva a contar y hacer 3 rayitas. Que adicione otras tantas y vuelva a restar; así, algunas veces, para que en su mente se estructure la dinámica de la adición y la sustracción, como de la representación de los números mediante rayitas. NO puede introducir más de nueve en una misma asta; así que si se le pide que adiciones uno más, ahí es donde va a empezar a sumar por grupos. El siguiente color le indica que ha formado un grupo de diez guijarros, y deberá representarlo en el asta siguiente. 

Se le puede pedir que a 9 le adicione 1 más, sin pasar del límite de 9 guijarros en el asta. Aquí puede operar el aprendizaje por descubrimiento o la orientación dirigida, eso depende de otras variables que no es necesario entrar a discutir en este momento. 

Un guijarro amarillo, entonces, representará diez guijarros rojos. Antes de seguir con cantidades superiores a diez; conviene jugar con la asociación y la descomposición formando igualdades, utilizando rayas de colores. Así, va aprendiendo proposiciones equivalentes que implican diferentes juegos de asociación, v.g. “cinco más cinco es igual a nueve más uno” o “dos más ocho es igual a tres más tres y más cuatro”. 

La construcción del número diez y superiores, implica manejar la multiplicación y la adición. Para esto conviene hacer algunos juegos de asociación que permitan agrupar y sumar cantidades agrupadas en igual número; de modo que pueda operar primero con cantidades que no superen al diez, y permitirle combinar varias formas de enunciar proposiciones equivalentes; v.g. “tres más tres es igual a seis; y tres más tres es dos veces tres”; entonces, “dos veces tres es seis.” 

Usando el ábaco, por adición, al llegar al número diez, se le representa mediante una raya de un color diferente, y se puede leer como “una vez diez”. Un número mayor de diez, debe leerse mostrando la multiplicación y la adición; así, v.g., trece es “una vez diez más tres”; o veinticinco como “dos veces diez más cinco.” 

De esta forma, al introducir, posteriormente, los signos indo-arábigos, el sintagma “11” se lee como una vez diez más uno; o “14”, una vez diez más cuatro”; el “23”, “dos veces diez más tres”, etc. Esta forma de leer, que parecería dificultar y complicar la forma tradicional de enseñar por asociación lingüística de signos y conceptos, le permite en realidad comprender el sintagma en relación a la operación matemática que designa. 

El ábaco, como los sintagmas que representan números, opera con formas de agrupación y de multiplicación. Cuando el juego se ha ido afianzando, puede ensayarse, cambiar la regla del juego; se le puede pedir ahora que en cada asta no puede poner más de 5 guijarros, o de un número menor de diez. En la mayoría de casos, se comprueba que los chicos pasan rápidamente a operar la adición, la sustracción y la multiplicación, en bases diferentes a diez, sin mayores dificultades. En realidad no se habla de bases, solo se trata de un juego en el que se agrupa en cantidades diferentes y se inventan grafías y sintagmas para ello. Se puede incluso, como ya se ha hecho con rayas de colores, usar rayas y puntos (parecido a los sistemas numéricos babilonios de escritura cuneiforme); o letras. 

El aprendizaje de la matemática implica muchos factores complejos; pero algunas didácticas muy tradicionales, con un poco de juego y sin mayores pretensiones, generan disposiciones más favorables hacia el posterior razonamiento matemático. Existen muchas otras actividades, ninguna es por sí misma ni suficiente ni necesaria (la didáctica debe estar inserta en una pedagogía); simplemente, repito, pueden favorecer los aprendizaje y generar una mejor disposición hacia la comprensión de proposiciones y relaciones lógicas que usará en posteriores aprendizajes. 

Hipótesis para una didáctica de la matemática