Hipótesis para una didáctica de la matemática

"Dos y dos son cuatro, cuatro y dos son seis; seis y dos son ocho, y dos por ocho dieciséis"

"Mas cantando no aprendimos a multiplicar"

Dos de las preguntas incesantes que considero interesantes para la investigación pedagógica son ¿cómo pensamos?, y ¿por qué pensamos como pensamos? En realidad son preguntas muy complejas, y no creo que sea conveniente proponer respuestas acabadas o paradigmas definitivos para su abordaje. Frente a estos interrogantes se podrían proponer muchos abordajes desde las psicologías, las filosofías, las antropologías, las pedagogías, por mencionar algunas de las llamadas disciplinas. En  esta entrada no pretendo hacer menciones a autores ni a marcos teóricos rigurosos o avanzados ni a procesos de investigación (que por su precariedad aún no son suficientes para una publicación al tenor de la academia); tan sólo compartir algunas reflexiones con base en mis propias experiencias y aproximaciones.

Es frecuente escuchar a algunos estudiantes, e incluso a personas que ya han pasado su época de escuela, manifestar que sienten aversión hacia las matemáticas porque en general tienen dificultades con los números. En efecto, diferentes factores, en los que ahora no es mi intención entrar, hacen que se haya generado en estos alumnos una serie de incomprensiones iniciales que han dificultado otros procesos posteriores; de alguna manera, la frase compartida por muchos educadores que alude a  la necesidad de formar buenas bases cobra aquí su pleno sentido.

El número es una abstracción que puede ser analizada en dos momentos, diferentes pero necesariamente complementarios. Uno que llamo de tipo lingüístico y otra de tipo conceptual. Propongo, a manera de hipótesis de trabajo, aunque compartida de diferentes maneras por varios autores que han abordado el problema, que la ausencia de esta comprensión bidimensional sobre los números es uno de los factores que influye negativamente en los procesos didácticos de la matemática.

Asumiendo que la cognición de los niños va madurando y desarrollándose por factores tanto biológicos como ambientales, especialmente por los entornos socio-culturales que juegan un papel significativo en la estructuración de la comprensión y el habla de los individuos; considero que observar cómo se relacionan, en la educación inicial, los niños con “los números” puede dar luces sobre las dificultades que algunos presentan posteriormente con las matemáticas.

Generalmente aprendimos los números dentro del lenguaje, pero aprendimos a hablar y a usar el lenguaje en los entornos del habla. El llamado proto-lenguaje, que durante los primeros años se va reemplazando por, o modificando en, el lenguaje mediante el habla, supone el desarrollo de ciertas estructuras internalizadas de la sociedad y la cultura en la que se habita, que funcionan como disposiciones cognitivas y operadores de los que el individuo no es necesariamente consciente cuando habla o piensa. Así, se puede explicar que el habla suponga para su funcionamiento estructuras del lenguaje que funcionan aunque el individuo desconozca las reglas y lógicas de dicho lenguaje.

El aprendizaje del lenguaje es en realidad un proceso muy complejo sobre el que se han propuesto diferentes teorías que no pretendo acotar aquí; pero en general, se puede observar que a los cinco años un niño ha podido dominar gran parte del lenguaje adulto, se espera que haya desaparecido la totalidad del proto-lenguaje y es plausible pensar que, para entonces, ya se han consolidado las bases para posteriores aprendizajes en el habla materna.

Dentro de este proceso, los números naturales han sido incorporados como signos que funcionan en el habla, pero del repertorio de signos lingüísticos de los que el niño dispone y de las combinaciones que entre estos puede operar en el habla según las necesidades de su entorno, los signos numéricos podrían ser los menos necesarios. Esto último, varía en función del tipo de sociedad, de la cultura y de los ambientes en que se socializa el niño; de ahí la influencia que ejercen algunos juegos infantiles en el desarrollo del lenguaje y del pensamiento.

Aquí es necesario distinguir analíticamente dos procesos, que no necesariamente suceden en paralelo ni simultáneamente. El signo como oralidad y como escritura. El ingreso del niño a la vida escolar, en las sociedades “modernas”, conlleva el aprendizaje de la escritura. Entre las diferentes grafías que se le van presentando al niño, algunas sirven para componer sintagmas que funcionan como sustantivos, de éstos algunos se refieren a elementos concretos que son fácilmente ostensibles, ya mediante una proyección, una laminilla, una pantalla o ya porque su objeto se encuentra cercano en el ambiente; pero otros se refieren a objetos cuya abstracción impide que sean ostensibles. Así, cuando se trata de enseñar sustantivos como “amor”, “justicia”, “patria”, etc., se suele recurrir a otro tipo de relaciones indirectas para mostrar lo que en realidad son funciones conceptuales sobre otros objetos que el niño ha aprehendido por experiencias extra-lingüísticas. Es posible, incluso, pensar que estas ideas se han ido estructurando aun antes de que el niño aprenda sus expresiones mediante el lenguaje.

 Muchas de las expresiones de este tipo suelen ser formas sustantivadas de verbos, adverbios o adjetivos; lo que da una pista para comprender cómo hace el niño para ir asimilando los significados y sentidos de las nuevas palabras que va incorporando en su habla. El amor es algo cuyo sentido construye de la experiencia de amar y ser amado, sea lo que sea que se defina de ello después. Así, el niño aprende este y otros sustantivos que denotan objetos abstractos, vinculando ciertas experiencias como sentimientos, sensaciones o relaciones manifiestas que establece con su entorno más inmediato. (Esto en realidad va mucho más complejo de lo que puedo aludir aquí.)

Un número, que se presenta como un sustantivo, es en realidad una relación. Cuando se le enseña al niño un número natural cualquiera, y el elemento ostensible es una grafía, un sintagma, en últimas un signo lingüístico, olvidando trabajar, o simplemente descuidando, la relación a la que refiere la abstracción, se deja al niño a merced de una abstracción inasible en el nivel de su maduración  cognitiva. No se puede, por tanto, olvidar que el número natural que se le pretende enseñar indica una relación y no una grafía en el papel o el pizarrón.

Si se insiste, por actuar del mismo modo que en el aprendizaje ostensivo, en que uno es “1”, dos es “2”, etc., cuando el niño tenga que operar con las relaciones conceptuales a las que estos signos refieren, va a repetir mecánicamente un juego formal que escapa a su comprensión, y que al largo plazo podría generarle dificultades frente al aprendizaje de la matemática del bachillerato. Esto fue, en realidad, una hipótesis que derivé, no precisamente del trabajo con niños, sino con estudiantes de los últimos años del bachillerato, y no de las materias de álgebra, geometría o cálculo; sino de mis clases de filosofía.

Haciendo un poco de caso a la consigna del platonismo de que para estudiar filosofía era menester tener bases en la matemática, en especial la geometría; y sin entrar ahora en las polémicas sobre la veracidad y las implicaciones hermenéuticas sobre este supuesto imperativo en el dintel de La Academia de la antigua Atenas; solía proponer, en algunas de mis clases, ciertos ejercicios como estrategia para introducir temas que implicaban mayor grado de abstracción. En otro espacio he escrito sobre didáctica de la filosofía, así que ahora no entraré a explicar los detalles de esta experiencia.

Una de las cuestiones que consideraba necesaria tenía que ver con ciertas formas de usar el lenguaje, expresiones que aluden al sentido común y que olvidan, o simplemente desconocen, la internalización de los modos del pensamiento y, por tanto, reproducen la naturalización del sentido común que opera en los modo como habitualmente pensamos.

Los modos del pensar se construyen por hábitos, social y culturalmente mediados, que se van internalizando y estructurando hasta que, en mayor o menor grado, se convierten en disposiciones de pensamiento que operan inconscientemente cuando el individuo se enfrenta a la resolución de un problema cualquiera, de la vida cotidiana o artificialmente creado en el ambiente escolar.

Es así como el sentido común no es otra cosa que una disposición socio-cultural internalizada por el individuo, hasta funcionar como un operador inconsciente que le facilita su desenvolvimiento en las actividades más cotidianas y determina los modos como dicho individuo asume y resuelve problemas cotidianos. Una consecuencia de esto es que el sentido común no se identifica, como muchos repiten, con la lógica. Que haya “sentidos comunes” con mayor disposición al “razonamiento lógico” y otros a razonamientos menos lógicos, incluso que existan comportamientos racionales o irracionales, depende en gran medida de los ambientes y las mediaciones que han estructurado las disposiciones a los modos de pensamiento individual.

Así, en algunas de mis clases solía presentarles algunas proposiciones escritas sobre el tablero, con la intención de acercarnos a la comprensión de algunos problemas, pero tratando de traer al primer plano de la conciencia, los esquemas operativos del pensamiento, es decir, los operadores inconscientes, naturalizados por los procesos de aprendizaje de la infancia, con los que la mente resuelve los problemas más cotidianos, ya del mundo escolar o ya de la vida en general.

Proposiciones como

12+13=1 

1+1=10

3x4=20 porque 4x5=32 y 3x3=13

les resultaban perfectamente desconcertantes y develaban los modos no sólo de cómo operan mecánicamente las operaciones más elementales, sino de las expresiones lingüísticas de los signos que denotan conceptos abstractos. Para evidenciar esto, evitaba leer las proposiciones y me valía simplemente del uso deíctico, indicándoles “estas proposiciones son verdaderas”.

Con la segunda proposición se evidenciaban las falencias en la relación lingüística. Así, era frecuente el alegato de no es posible que “uno más uno” sea “diez”; a lo que solía responder: “en efecto, uno más uno no es diez; pero esta proposición (1+1=10) es verdadera.”

Antes de entrar a recordarles las sumas binarias, me iba al primer caso, porque sin darse cuenta, esta operación les es más próxima a su cotidianidad pero no lo notan al primer vistazo. Aquí es donde el operador inconsciente, como disposición a pensar y actuar de determinados modos, se ve en funcionamiento.

El hábito generalizado y naturalizado a operar, la mayor parte del tiempo, en la base 10 las operaciones básicas de la aritmética, así como la representación lingüística de los números, determinaba una relación con las proposiciones presentadas sobre el tablero que provocaba la sensación inicial de extrañeza frente a su veracidad aseverada por el profesor.

El recurso al formalismo matemático brindaba varios aportes a cuestiones de didáctica de la filosofía. Un poco basado en estas experiencias, y otras que no alcanzo presentar aquí, se inició otro proceso de observación, pero esta vez sí con niños y en didáctica de la matemática, en el que se han venido implementando otro tipo de estrategias que privilegian el manejo de la geometría, el dibujo, las comparaciones y las clasificaciones antes que las formas lingüísticas de los números en el proceso de aprendizaje y formación del pensamiento lógico en los niños. En realidad es algo mucho más complejo y rico de explicar; es algo que va en marcha y consolidación de la propuesta, que tuvo una especie de prueba piloto ya; pero del que ahora solo puedo hacer alusión.



Matemáticas de palitos y guijarros